devterРазвитие территорийTerritory Development2412-8945Сибирский институт управления10.32324/2412-8945-2023-2-08-14devter-352Research ArticleЭКОНОМИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯECONOMIC RESEARCHОб инвариантности и чувствительности параметров математических моделей экономических системOn invariance and sensitivity of parameters of mathematical models of economic systemsЕрмолаевВ. А.ErmolaevV. A.

Ермолаев Валерий Андреевич — кандидат технических наук, доцент кафедры электроники и вычислительной техники

Муром

Valery A. Ermolaev — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Department of Electronics and Computer Engineering

Murom

valeermolaev@yandex.ruПроскуряковА. Ю.ProskuryakovA. Yu.

Проскуряков Александр Юрьевич — кандидат технических наук, доцент кафедры электроники и вычислительной техники

Муром

Alexander Y. Proskuryakov — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor at the Department of Electronics and Computer Engineering

Murom

alexander.prosk.murom@gmail.comМуромский институт (филиал) «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»Murom Institute (branch) “Vladimir State University named after Alexander Grigorievich and Nikolai Grigorievich Stoletov”20231207202302 (32)814Copyright © Ермолаев В.А., Проскуряков А.Ю., 20232023Ермолаев В.А., Проскуряков А.Ю.Ermolaev V.A., Proskuryakov A.Y.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://devter.elpub.ru/jour/article/view/352

Рассмотрены проблемы моделирования процессов и систем экономики, поставлена задача оптимального управления, определены представляющая экономику система нелинейных дифференциальных уравнений и оптимизируемый целевой функционал; выбран вариационный метод решения поставленной задачи, описан принцип инвариантности нелинейных систем и предоставляемые им возможности моделирования динамических, в том числе экономических, систем. Дается критический анализ состояния в области экономического моделирования. Рассмотрены в терминах преобразования Лапласа, особенности и свойства принципа инвариантности линейных систем. Получены функции чувствительности нелинейных систем и определяющие их производные Гато и Фреше. Показано применение теории чувствительности в задачах оптимального управления нелинейными системами на примере достаточно простой задачи.

The problems of modeling processes and systems of the economy are considered, the optimal control problem is posed, the system of nonlinear differential equations representing the economy and the optimized target functional are determined; a variational method for solving the problem is chosen, the principle of invariance of nonlinear systems and the possibilities provided by them for modeling dynamic, including economic, systems are described. A critical analysis of the state in the field of economic modeling is given. The features and properties of the invariance principle of linear systems are considered in terms of the Laplace transform. Sensitivity functions of nonlinear systems and Gato and Frechet derivatives defining them are obtained. The application of sensitivity theory in problems of optimal control of nonlinear systems is shown by the example of a fairly simple problem.

экономическая модельвариационное исчислениеоптимальное управлениепринцип инвариантностичувствительность динамических системeconomics modelcalculus of variationsoptimal controlinvariance principlesensitivity of dynamic systemsReferencesВладимиров В. С. Что такое математическая физика? Препринт / Математический институт им. В. А. Стеклова РАН. М. : МИАН, 2006. 20 с.Vladimirov V.S. Chto takoe matematicheskaya fizika? Preprint [What is mathematical physics?]. Moscow, MIAN, 2006, 20 p.Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. М. : Наука, 1979.Moiseev N.N. Matematika stavit eksperiment [Mathematics puts the experiment]. Moscow, Nauka, 1979.Моисеев Н. Н. Избранные труды : в 2 т. М. : Тайдекс КО, 2003.Moiseev N.N. Izbrannye trudy [Selected Works], v 2 t. Moscow, Taideks KO, 2003.Асемоглу Д. Введение в теорию современного экономического роста : в 2 кн. М. : Дело : РАНХиГС, 2018.Asemoglu D. Vvedenie v teoriyu sovremennogo ekonomicheskogo rosta [Introduction to the theory of modern economic growth], v 2 kn. Moscow, Delo, RANKhiGS, 2018.Tsay R. S. Analysis of financial time series. Hoboken. New Jersey : John Wiley & Sons, 2010.Tsay R.S. Analysis of financial time series. Hoboken. New Jersey, John Wiley & Sons, 2010.Иванов В. В., Малинецкий Г. Г. Цифровая экономика: мифы, реальность, перспективы. М. : РАН, 2017.Ivanov V.V., Malinetskii G.G. Tsifrovaya ekonomika: mify, real'nost', perspektivy [Digital economy: myths, reality, prospects]. Moscow, RAN, 2017.Ларина О. И., Акимов О. М. Цифровые деньги на современном этапе: ключевые риски и направления развития // Финансы: теория и практика. 2020. T. 24, № 4. C. 18—30.Larina O.I., Akimov O.M. Tsifrovye den'gi na sovremennom etape: klyuchevye riski i napravleniya razvitiya [Digital money at the present stage: key risks and directions of development], Finansy: teoriya i praktika [Finance: theory and practice], 2020, vol. 24, no. 4, pp. 18—30.Полунин Ю. А. Синтез методов нелинейной динамики и регрессионного анализа для исследования социально-экономических процессов // Проблемы управления. 2019. № 1. C. 32—44.Polunin Yu.A. Sintez metodov nelineinoi dinamiki i regressionnogo analiza dlya issledovaniya sotsial'no-ekonomicheskikh protsessov [Synthesis of nonlinear dynamics and regression analysis methods for the study of socio-economic processes], Problemy upravleniya [Problems of management], 2019, no. 1, pp. 32—44.Динамические модели экономики: теория, приложения, программная реализация / Д. Л. Андрианов, В. О. Арбузов, С. В. Ивлиев и др. // Вестник Пермского университета. Экономика. 2015. № 4 (27). C. 8—32.Andrianov D.L., Arbuzov V.O., Ivliev S.V. et all. Dinamicheskie modeli ekonomiki: teoriya, prilozheniya, programmnaya realizatsiya [Dynamic models of the economy: theory, applications, software implementation], Vestnik Permskogo universiteta. Ekonomika [Vestnik (Herald) of Perm University. Economics], 2015, no. 4 (27), pp. 8—32.Матросов В. В., Шалфеев В. Д. Моделирование экономических и финансовых циклов: генерация и синхронизация // Известия вузов. ПНД. 2021. Т. 29, № 4. С. 127—138.Matrosov V.V., Shalfeev V.D. Modelirovanie ekonomicheskikh i finansovykh tsiklov: generatsiya i sinkhronizatsiya [Modeling economic and financial cycles: generation and synchronization], Izvestiya vuzov. PND [Izvestia of Higher Education Institutions], 2021, vol. 29, no. 4, pp. 127—138.Цирлин А. М. Методы усредненной оптимизации и их приложения. М. : Наука, 1997.Tsirlin A.M. Metody usrednennoi optimizatsii i ikh prilozheniya [Methods of averaged optimization and their applications]. Moscow, Nauka, 1997.Цирлин А. М. Задачи и методы усредненной оптимизации // Труды МИАН. 2008. Т. 261. С. 276—292.Tsirlin A.M. Zadachi i metody usrednennoi optimizatsii [Problems and methods of averaged optimization], Trudy MIAN [Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics(MIAN)], 2008, vol. 261, pp. 276—292.Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. Книга 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматического регулирования / под ред. В. В. Солодовникова. М. : Машиностроение, 1967.Solodovnikova V.V. (ed.) Tekhnicheskaya kibernetika. Teoriya avtomaticheskogo regulirovaniya. Kniga 2. Analiz i sintez lineinykh nepreryvnykh i diskretnykh sistem avtomaticheskogo regulirovaniya [Technical cybernetics. Theory of automatic regulation. Book 2. Analysis and synthesis of linear continuous and discrete automatic control systems]. Moscow, Mashinostroenie, 1967.Современные методы проектирования систем автоматического управления. Анализ и синтез / под общ. ред. Б. Н. Петрова, В. В. Солодовникова, Ю. И. Топчеева. М. : Машиностроение, 1967.Petrova B.N., Solodovnikova V.V., Topcheeva Yu.I. (eds.) Sovremennye metody proektirovaniya sistem avtomaticheskogo upravleniya. Analiz i sintez [Modern methods of designing automatic control systems. Analysis and synthesis]. Moscow, Mashinostroenie, 1967.Петров Б. Н. Избранные труды. Т. 1. Теория автоматического управления. М. : Наука, 1983.Petrov B.N. Izbrannye Trudy [Selected Works], vol. 1. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya [Selected Works. Т. 1. Theory of automatic control]. Moscow, Nauka, 1983.Розоноэр Л. И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления. I // АиТ. 1963. № 6. С. 744—756.Rozonoer L.I. Variatsionnyi podkhod k probleme in-variantnosti sistem avtomaticheskogo upravleniya [The variational approach to the problem of invariance of automatic control systems]. I, AiT [Automatics and Telemechanics], 1963, no. 6, pp. 744—756.Розоноэр Л. И. Вариационный подход к проблеме инвариантности систем автоматического управления. II // АиТ. 1963. № 7. С. 861—670.Rozonoer L.I. Variatsionnyi podkhod k probleme invariantnosti sistem avtomaticheskogo upravleniya [The variational approach to the problem of invariance of automatic control systems]. II, AiT [Automatics and Telemechanics], 1963, no. 7, pp. 861—670.Величенко В. В. О вариационном методе в проблеме инвариантности управляемых систем // АиТ. 1972. № 4. С. 22—35.Velichenko V.V. O variatsionnom metode v probleme invariantnosti upravlyaemykh system [On the variational method in the problem of invariance of controllable systems], AiT [Automatics and Telemechanics], 1972, no. 4, pp. 22—35.Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. М. : Наука, 1981.Rozenvasser E.N., Yusupov R.M. Chuvstvitel'nost' sistem upravleniya [Sensitivity of control systems]. Moscow, Nauka, 1981.Томович Р., Вукобратович М. Общая теория чувствительности. М. : Советское радио, 1972.Tomovich R., Vukobratovich M. Obshchaya teoriya chuvstvitel'nosti [General theory of sensitivity]. Moscow, Sovetskoe radio, 1972.Чувствительность автоматических систем: труды Международного симпозиума по чувствительным системам автоматического управления (Дубровник, сентябрь 1964) / отв. ред. Я. З. Цыпкина. М. : Наука, 1968.Tsypkina Ya.Z. (ed.) Chuvstvitel'nost' avtomaticheskikh sistem: trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma po chuvstvitel'nym sistemam avtomaticheskogo upravleniya (Dubrovnik, sentyabr' 1964.) [Sensitivity of automatic systems: proceedings of the International symposium on sensitive automatic control systems]. Moscow, Nauka, 1968.Моисеев Н. Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М. : ЛЕНАНД, 2020.Moiseev N.N. Chislennye metody v teorii optimal'nykh system [Numerical methods in the theory of optimal systems]. Moscow, LENAND, 2020.Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М. : Физматлит, 2007.Alekseev V.M., Tikhomirov V.M., Fomin S.V. Optimal'noe upravlenie [Optimal control]. Moscow, Fizmatlit, 2007.Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М. : Мир, 1975.Ortega Dzh., Reinboldt V. Iteratsionnye metody resheniya nelineinykh sistem uravnenii so mnogimi neizvestnymi [Iterative methods for solving nonlinear systems of equations with many unknowns]. Moscow, Mir, 1975.Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М. : Мир, 1988.Oben Zh.-P., Ekland I. Prikladnoi nelineinyi analiz [Applied non-linear analysis]. Moscow, Mir, 1988.Special issue on sensitivity // Journal of the Franklin Institute, 1981, Vol. 312, no. 3—4, p. 141—216.Special issue on sensitivity, Journal of the Franklin Institute, 1981, vol. 312, no. 3—4, pp. 141—216.Цирлин А. М., Саламон П., Хоффман К. Х. Замена переменных состояния в задачах параметрического управления осцилляторами // АиТ. 2011. № 8. С. 53—64.Tsirlin A.M., Salamon P., Khoffman K.Kh. Zamena peremennykh sostoyaniya v zadachakh parametricheskogo upravleniya ostsillyatorami [Substitution of state variables in parametric oscillator control problems], AiT [Automatics and Telemechanics], 2011, no. 8, pp. 53—64.Оптимальные процессы для управляемых осцилляторов / Б. Андресен, П. Саламон, К. Х. Хоффман, А. М. Цирлин // АиТ. 2018. № 12. С. 3—15.Andresen B., Salamon P., Khoffman K.Kh., Tsirlin A.M. Optimal'nye protsessy dlya upravlyaemykh ostsillyatorov [Optimal processes for controlled oscillators], AiT [Automatics and Telemechanics], 2018, no. 12, pp. 3—15.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.